SEMINAR MATEMATIKA

PENERAPAN MERODE ROMBERG PADA MASALAH INTEGRASI TENTU

Iin Fitriyana

Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP Universitas PGRI Palembang

E-mail : agassi_iin@yahoo.com

Abstrak

Integral merupakan perhitungan dasar yang digunakan dalam Kalkulus, dalam banyak keperluan. Integral secara definit digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Pada beberapa permasalahan perhitungan integral dapat dihitung secara manual. Tetapi pada banyak permasalahan, integral sulit sekali dihitung bahkan dapat dikatakan tidak dapat dihitung secara manual. Oleh karena itu dalam metode numerik ada banyak cara untuk menghitung integral. Metode Romberg merupakan salah satu metode yang dapat dipakai dalam suatu permasalahan integrasi. Metode Romberg merupakan perluasan dari ekstrapolasi Richardson. Dalam hal ini bila ekstrapolasi Richardson diterapkan secara terus mernerus maka akan diperoleh nilai integrasi yang semakin baik (galatnya semakin keci)l. Oleh karena itu dalam makalah ini penulis ingin mencoba menerapkan Metode Romberg dalam masalah integral tentu. Dari hasil penerapan metode tersebut akan diperoleh nilai integrasi yang semakin baik.

Kata Kunci : Metode Romberg, Ekstrapolasi Richardson, kaidah Trapesium

1. PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Seringkali persoalan matematika itu dimodelkan kedalam persamaan integral yang terkadang sulit untuk dihitung dengan menggunakan metode analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus – rumus aljabar yang sudah baku ( lazim )

Untuk itu diperlukan metode pendekatan yang tepat untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut. Dalam hal ini metode numerik dapat digunakan sebagai alternative untuk menyelesaikan persamaan integral. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk menformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitung atau aritmatika biasa.

Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghitung integrasi, salah satunya dengan menggunakan Metode Romberg. Untuk itu penulis ingin menerapkan Metode Romberg dalam masalah integrasi tentu.

1.2  Rumusan Masalah

Bagaimana penerapan Metode Romberg dalam masalah integral tentu?

1.3  Tujuan

Untuk mengetahui bagaimana penerapan Metode Romberg dalam masalah integral tentu.

2. MATERI PENUNJANG

   a. Kaidah Trapesium

         Kita lihat kembali kaidah Trapesium yang telah diperlajari,

    dari kaidah trapezium tersebut dapat pula kita tulis sebagai berikut :

           

            Dengan  I(h) =

                           C =

   b. Ekstrapolasi Richardson

         Ekstrapolasi Richardson merupakan nilai integrsi yang lebih baik dibandingkan dengan I. Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada I dengan jarak antar titik adalah h,

     

      Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi numeriknya.

     

Jika kita eliminasi kedua persamaan tersebut akan menghasilkan persamaan Ekstrapolasi Richardson yaitu :

3. MATERI POKOK

            Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikan order galat pada hasil solusinya sebesar dua :

  O(h^2N)                         O(h^2N+2)

Misalnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapezium yang berorde galat O(h²), maka ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah simpson 1/3 yang berorde O(h⁴). Selanjutnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah Boole yang berorde O(h⁶).

Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson :

Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai

Yang dalam hal ini        

Dan A_k = Perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapezium dan jumlah pias n = 2^k orde galat A_k adalah O(h²).

Sebagai contoh, selang [a,b] dibagi menjadi 64 buah pias atau upaselang :

Arti dari setiap A_k adalah sebagai berikut :

Ø      A₀ adalah taksiran nilai integrasi  dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 2⁰=1 buah pias;

Ø      A₁ adalah taksiran nilai integrasi  dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 2¹=2 buah pias;

Ø      A₂ adalah taksiran nilai integrasi  dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 2²=4 buah pias;

Ø      A₃ adalah taksiran nilai integrasi  dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 2³=8 buah pias;

Ø      A₆ adalah taksiran nilai integrasi  dengan menggunakan kaidah trapesium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 2⁴=64 buah pias;

Tiga A_k yang pertama dilukiskan oleh gambar dibawah ini :

                                                  

                  h₀    

Gunakan A_0, A_1, A_2, …A_k pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan B_1, B_2,...,B_k, yaitu 

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = B_k + D’h⁴ + E”h⁶ +… dengan order galat B_k adalah O(h⁴).

Selanjutnya, gunakan B_1, B_2,...,B_k, pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan C_2, C₃...,C_k, yaitu

           

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = C_k + E”h⁶ +… dengan order galat C_k adalah O(h⁶).

Selanjutnya, gunakan C_1, C_2,...,C_k, pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan D_3, D₄...,C_k, yaitu

           

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = D_k + E’’’h⁶ +… dengan order galat D_k adalah O(h⁸). Demikian seterusnya. Dari rutunan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan tabel Romberg seperti berikut ini :

O(h2)       O(h4)      O(h6)       O(h8)      O(h10)       O(h12)      O(h14)

A0    A1                   B1    A2             B2                C2    A3             B3                C3                 D3    A4             B4                C4                 D4               E4    A5             B5                C5                 D5                E5                  F5    A6             B6                C6                 D6              E6                    F6            G6

                                              Nilai integrasi yang lebih baik

Contoh :

Hitung integral

             Dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka bena

Penyelesaian :

Jarak antara titik : , h = ( 1-0 )/8 = 0,125

Tabel titik – titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0,125

r	xr	fr
0	0	1,00000
1	0,125	0,88889
2	0,250	0,80000
3	0,375	0,72727
4	0,500	0,66667
5	0,625	0,61538
6	0,750	0,57143
7	0,875	0,53333
8	1,000	0,50000

 

 Tabel Romberg :

k	O(h2)	O(h4)	O(h6)	O(h8)
0 1 2 3	0,75000 0,70833 0,69702 0,69412	0,69445 0,69325 0,69315	0,69317 0,69314	0,69314

              

Jadi,

(Bandingkan dengan solusi sejati )

3. KESIMPULAN

• Metode Romberg merupakan perluasan dari ekstrapolasi Richardson, yang apabila kita menerapkan secara terus menerus ekstrapolasi Richardson maka akan memperoleh nilai integrasi yang semakin lama semakin baik (galatnya semakin kecil).

• Setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua.

4. DAFTAR PUSTAKA

      Munir, Rinaldi. Metode Numerik. Penerbit : Informatika. Bandung. 2008.

      Setiawan, Agus. Pengantar Metode Numerik. Penerbit: Andi. Yogyakarta. 2006.

      Salusu. Metode Numerik. Penerbit: Graha Ilmu.Yogyakarta.2006.

pksm.mercubuana.ac.id/new/.../files.../15016-15-508384943105.doc. Diakses pada 15 November 2009.